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「親和數」(amicable numbers)



時下年輕人流行送心儀喜歡的對象999朵玫瑰,表達自己九九九不變質的愛情保證。


但是西元前500希臘畢達哥拉斯的兄弟會卻認為220284才是象徵友誼的符號,因為他們發現220的所有正因數相加的和等於284


1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284



同時,284的所有正因數相加的和等於220



1+2+4+71+142=220



這一對你儂我儂的數字,彼此交融。而在舊約聖經《創世紀篇》第32章寫道

「當夜,雅各在那裡住宿、就從他所有的物中拿禮物、要送給他哥哥以掃母山羊二百隻、公山羊二十隻、母綿羊二百隻、公綿羊二十隻、… 」



雅各給他哥哥以掃山羊220隻、綿羊220隻,雅各選擇220表達了對哥哥的摯愛。


西元1984年英國倫敦Viking出版了Martin Gardner所著《Mathematical Magic Show》一書,書中提道說220284在中世紀的占星術鑄件與護身符扮演增進情誼的角色。


並收錄了11世紀一位阿拉伯人對於220284是否真有催情功效的試驗,這位阿拉伯人找了一批人吃下有標示220的食物,而另一批人則吃下有標示284的食物,結果並非有效。


如果一對正整數,他們的所有正因數和都是對方,這樣一對數就稱為「親和數」(amicable numbers)


220
284就是史上第一對被發現的親和數。大約西元850Thabit ibn Qurra 發表親和數的通式,
如果


p = 3 
× 2n-1  1

q =  3 × 2n  1

r =  × 22n-1  1


n
是大於1的整數且pqr都是質數,則 『2npq』和『2nr』就是一對親和數,


但是Thabit ibn Qurra的這個通式無法表示很多親和數。
第一對親和數(220284)就是n=2的結果。令人疑惑的是,往後親和數的發現卻相當緩慢,


直到西元1636年被費瑪(Fermat)發現(1729618416),它是Thabit ibn Qurra通式n=4的結果。


到了西元1638年,笛卡兒(Descartes)發現親和數(93635849437056),而它是Thabit ibn Qurra通式n=7的結果。


可是並非所有親和數都可以化成為Thabit ibn Qurra的通式,例如 (6232, 6368)


尤拉(Euler)則在西元1747年根據Thabit ibn Qurra通式,推導出「如果


p 2m(2n-m+1)-1

q 2n(2n-m+1)-1

r 2n+m(2n-m+1)2-1都是質數,


其中mn是整數,且1mn-1,則 2npq 2nr 就是親和數」,


他找出30組親和數,後來陸續發表,增加至64組,但是其中兩組分別在西元1909年與1914年被證明並不是親和數,而且很多親和數也無法用尤拉的公式計算出來。


一件令人驚訝的事, 西元1866年一位僅16歲男孩 Nicolo Paganini竟發現僅大於(220,284)的親和數 (1184,1210)


目前數學家藉助於電子計算機的運算能力,繼續尋找新的親和數,並努力證明親和數是否是無限多組,並努力找出一個可以表示所有親和數的公式,之前,Thabit ibn Qurra Euler顯然是失敗的


一批數學家致力於尋找互質的親和數,根據他們的猜測,假設有互質的親和數,一定是大於25位數字(千京位)

http://blog.yam.com/hdlin/article/8098810

的大數,而他們的乘積至少有22個相異的質因數。


而到西元2004年七月6日,已經證明發現了7093056組親和數,而其中有2045組的位數是介於1000~17326之間。在這個網站


http://amicable.homepage.dk/tables.htm

 
可以查到最新尋找親和數的相關紀錄。






 

 

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